A Problem With an Analog of Frankl Condition on the Characteristics for Gellerstedt Equation With Singular Coeﬃcient

Ushbu maqola Frankl shartiga o'xshash chegaraviy shartga ega bo'lgan, xususiyatlar bo'yicha umumlashtirilgan Gellerstedt tenglamasi bilan aralash tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy qiymat muammosini o'rganadi. Mualliflar ushbu muammoning yechimi mavjudligini va yagonaligini isbotlaydi. Maqolada tenglamaning xususiyatlari, chegaraviy shartlar va yechimning mavjudligi hamda yagonaligini ko'rsatuvchi asosiy natijalar bayon etilgan.

Asosiy mavzular

Muammoning qo'yilishi: Bu qismda tekislikning chekli, sodda bog'langan sohasi $\Omega$ va $y>0$ yarim tekisligida normal egri chiziq $\sigma_0(y) = \sigma_0(x)$: $x^2 + \frac{4}{(m+2)^2} y^{m+2} = 1$ bilan chegaralanganligi, hamda $y<0$ yarim tekisligida esa $\Omega$ sohasi tenglama xususiyatlari AC va BC bilan chegaralanganligi ko'rsatiladi. Shuningdek, tenglama (1) hamda muammoning chegaraviy shartlari va ushbu muammoning yechimini topish usullari tushuntiriladi.
Yechimning yagonaligi: Bu qismda muammoning yechimi mavjud bo'lsa, u yagona ekanligi isbotlanadi. Bu uchun chegara qiymat muammosi uchun Darboux formulasi va boshqa mavjud bo'lgan formulalardan foydalaniladi. Keyin esa chegara qiymatlarining bir jinsli bo'lmagan holati uchun ham yechimning yagonaligi ko'rsatiladi.
Muammoning mavjudligi: Ushbu qismda berilgan shartlar bajarilganda muammoning yechimi mavjudligi isbotlanadi. Bu qismda tenglamaning aniq yechimini topish uchun qo'llaniladigan formulalar keltirilgan va ular orqali yechimning mavjudligi ko'rsatilgan.