To’plamlar ustida amallar, akslantirish. Quvvat tushunchasi.

Ushbu kitob metrik fazolar va ularga misollar, metrik fazolarda yaqinlashish, zich to'plamlar, ochiq va yopiq to'plamlar, Kantor to'plam, chiziqli fazolar, Hilbert fazolari, Lebeg integrali, vektor analizidagi ko'p o'zgaruvchili funksiyalar, Lebeg integrali ostida limitga o'tish, Radon-Nikodim va Fubini teoremalari, chiziqli operatorlar, kompakt operatorlar, Hilbert fazolarida ortogonal bazis va normalangan fazolar singari mavzularni o'z ichiga oladi.

Asosiy mavzular

• Metrik fazolar va ularga misollar: Ushbu bob metrik fazolar va ularga misollar, metrik fazolarda yaqinlashish, zich to'plamlar, ochiq va yopiq to'plamlar, Kantor to'plam kabi tushunchalarni o'z ichiga oladi. Har bir paragrafda metrik fazo ta'riflanib, ularga ko'plab misollar keltirilgan. Metrikaning uchburchak tengsizligini isbotlashda Koshi-Bunyakovskiy, Minkovskiy va Gyolder tengsizliklaridan foydalanilgan.
• Chiziqli fazolar: Chiziqli fazo tushunchasi matematikada asosiy tayanch tushunchalardan hisoblanadi. Ushbu bobda chiziqli fazolar va ularning ko'plab misollari keltirilgan bo'lib, ularning xossalari ham bayon qilingan.
• Hilbert fazolari: To‘la Evklid fazolarini qarashda davom etamiz. Bizni faqat cheksiz o‘lchamli Evklid fazolari qiziqtiradi, chunki chekli o‘lchamli Evklid fazolari n R fazoga izomorfdir. Cheksiz o‘lchamli to‘la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi.
• Lebeg integrali: Ushbu bobda biz sonlar o‘qida aniqlangan funksiyalarning Lebeg integralini qaraymiz. Va bu integralni tayinlangan f da to‘plam funksiyasi sifatida o‘rganamiz.
• Chiziqli operatorlar: Chiziqli operatorlar nazariyasida spektr tushunchasi eng muhim tushunchalardan biridir. Chiziqli operator spektrini o‘rganish matematik fizika uchun muhimdir.
• Kompakt operatorlar: Dastlab normalangan fazodagi kompakt, nisbiy kompakt to‘plamlarga ta’rif beramiz. Chunki kompakt operatorlar shu tushunchalar asosida ta’riflanadi. Biz normalangan fazolarda kompaktlik kriteriylarini ham keltiramiz. Keyin esa asosiy tushuncha kompakt operatorga ta’rif beramiz va unga misollar keltiramiz.