Panjaradagi laplas operatori uchun invariant qism fazolar
Maqolada bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos Laplas operatorining invariant qism fazolari o'rganiladi. Hilbert fazosida berilgan o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning spektrini o'rganish masalalari ko'riladi. Asosiy e'tibor Laplas operatorining invariant qism fazolarini topishga qaratilgan. Maqolada operatorning xos vektorlari va qiymatlari, spektral xossalari, kvaziimpuls koordinatalari va Shryodinger operatori kabi tushunchalar muhokama qilinadi. Toq va juft funksiyalardan tashkil topgan qism fazolarning invariantligi isbotlangan.
Asosiy mavzular
- Invariant qism fazolar: Hilbert fazosida berilgan operatorning ta'sirida o'z yo'nalishini saqlab qoluvchi elementlarni aniqlash, ya'ni Hf = λf tenglamaning yechimlarini topishdan iborat. Bu yechimlar operatorning xos vektorlari hisoblanadi.
- Laplas operatori: Bir o'lchamli panjarada ikki zarrachali sistemaga mos Laplas operatori o'z-o'ziga qo'shma chegaralangan operator bo'lib, kvadrati bilan jamlanuvchi funksiyalarning Hilbert fazosida aniqlanadi. Operatorning impuls ko'rinishi Furye almashtirishi orqali topiladi.
- Toq va juft funksiyalar fazosi: Toq funksiyalardan tashkil topgan L2(T) va juft funksiyalardan iborat L2(T) qism fazolar Laplas operatori uchun invariant qism fazolar bo'lishi isbotlangan. Bu fazolarning operatorga nisbatan invariantligi ko'rsatilgan.
- Invariant qism fazolarni yoyish: L2(T) va L2(T) fazolari ortonormal bazislar yordamida to'g'ri yig'indi shaklida yoyiladi. L2(T) = L2'(T) ⊕ L2(T) va L2(T) = L2'(T) ⊕ L2(T) kabi yoyilmalar invariant qism fazolarni aniqlashda qo'llaniladi.