Задачи по функциональному анализу

Kitob V.V. Vlasov, S.P. Konovalov va S.V. Kurochkinlar tomonidan yozilgan bo'lib, funksional analizga oid masalalarni o'z ichiga oladi. U MFTI (Moskva fizika-texnika instituti) talabalari uchun mo'ljallangan. Kitobda funksional analizning asosiy tushunchalari, teoremalari va usullarini qo'llashga oid misollar keltirilgan. Asosiy maqsad talabalarga ushbu sohada chuqur bilim olishlariga yordam berishdir.

Asosiy mavzular

Metrik va topologik fazolar: Ushbu bo'limda metrik fazolarning asosiy tushunchalari, ochiq va yopiq to'plamlar, uzluksiz funksiyalar va gomomorfizmlar kabi mavzular ko'rib chiqiladi.
To'liq metrik fazolar: Ushbu bo'lim to'liqlik tushunchasi, to'ldirish, Banaxning qisqaruvchi akslantirish teoremasi va uning qo'llanilishiga bag'ishlangan.
Kompakt metrik fazolar: Ushbu bo'limda kompaktlik tushunchasi, Xausdorf fazolari, ketma-ketlik kompaktligi va Arsela-Askoli teoremasi ko'rib chiqiladi.
Normallashtirilgan va topologik vektor fazolar: Ushbu bo'lim normallashtirilgan fazolarning asosiy tushunchalari, Banax fazolari, chiziqli operatorlar va ularning uzluksizligi, ekvivalent normlar va cheklangan o'lchovli fazolarga bag'ishlangan.
Hilbert fazosining geometriyasi: Ushbu bo'limda skalyar ko'paytma, ortogonallik, ortonormal bazislar, Bessela tengsizligi va Parseval tengligi kabi tushunchalar ko'rib chiqiladi.
Normallashtirilgan fazolarda chiziqli chegaralangan operatorlar: Ushbu bo'lim chiziqli chegaralangan operatorlarning asosiy xususiyatlari, operator normasi, teskari operatorlar va spektral nazariyaga bag'ishlangan.
Teskari operator, spektr, rezolventa: Bu yerda teskari operatorlarning mavjudligi, spektr tushunchasi, rezolventa va spektral teoremani o'z ichiga oladi.
Lebesgue o'lchovi va integrali: Ushbu bo'lim Lebesgue o'lchovi, o'lchovli funksiyalar, Lebesgue integrali va uning xususiyatlari, shuningdek, yaqinlashish teoremalari bilan bog'liq.
Xana-Banax teoremasi, Riss-Frechet teoremasi: Ushbu bo'lim qo'shma fazo tushunchasini, Xana-Banax teoremasini, Riss teoremasini va refleksiv fazolarni o'z ichiga oladi.
Zaif va zaif* konvergensiya: Bu yerda zaif konvergensiya, zaif* konvergensiya, Banax-Sak teoremasi va Eberslein-Smulian teoremasi kabi mavzularni o'z ichiga oladi.
Qo'shma operatorlar. O'z-o'ziga qo'shilgan operatorlar: Ushbu bo'lim qo'shma operatorlar, o'z-o'ziga qo'shilgan operatorlar, ularning xususiyatlari va spektral nazariyaga bag'ishlangan.
Kompakt operatorlar: Ushbu bo'lim kompakt operatorlar, ularning xususiyatlari, Hilbert-Shmidt operatorlari va spektral nazariyani o'z ichiga oladi.
Nolga yaqinlashuvchi nuqtalar haqidagi teoremalar: Ushbu bo'limda harakatsiz nuqtalar teoremalari va ularning turli xil funksional analiz masalalariga qo'llanilishi ko'rib chiqiladi.