Funksional analiz

Ushbu o'quv-uslubiy majmua

Asosiy mavzular

Metrik fazolar: Metrik fazolar va ularga misollar. Yaqinlashishlar. Uzluksiz akslantirishlar. Metrik fazodagi ochiq va yopiq to'plamlar. To'la va separabel metrik fazolar. Ichma-ich joylashgan sharlar haqidagi teorema. Ber teoremasi. To'ldiruvchi fazo haqidagi teorema.
Topologik fazolar: Qisqartirib akslantirish prinsipi va uning tatbiqlari. Topologik fazo ta'rifi va misollar. Atroflar. Yopiq to'plamlar. Topologik fazolarni uzluksiz akslantirish. Kompaktlik.
Chiziqli fazolar: Chiziqli fazolar. Qism fazo, faktor fazolar. Chiziqli funksionallar va ularning geometric ma'nosi.
Normalangan fazolar: Normalangan fazolar va ularning xossalari. Normalangan fazodagi birlik sharning kompakt bo'lishlik belgisi. Normalangan fazoda qatorlar. Normalangan fazoda sust yaqinlashish. Normalangan va Banax fazolarining faktor fazolari.
Yevklid va Gilbert fazolari: Yevklid fazosi. Ortogonallashtirish. Bessel tengsizligi. Riss-Fisher teoremasi. Gilbert fazosi, uning xossalari. Gilbert fazosini qism fazolar yig'indisiga yoyish. Gilbert fazodagi Fur'ye qatorlari. Chiziqli topologik fazolar. Qavariq to'plamlar va qavariq funksionallar. Xan-Banax teoremasi.
Operatorlar nazariyasi: Operatorning normasi. Chiziqli operatorlar fazosi. Operatorlarning tekis va kuchli yaqinlashishi. Tekis chegaralanganlik prinsipi. Teskari operatorlar haqidagi teoremalar. Qo'shma operatorlar. O'z-oziga qo'shma operatorlar. Chiziqli operatorlar xos qiymatlari va xos funksiyalari. Chiziqli operatorlar spektri va rezolventa to'plami. Chiziqli operatorlarning spektral radiusi. Kompakt operatorlar.
Chiziqli uzluksiz operatorlar: Chiziqli operatorning chiziqli chegaralanganligini ko'rsatib, normasini topish. Operatorning chegaralanganligini tekshirish. Operator normasini hisoblash. Chiziqli operatorlarning teskarisi mavjud yoki mavjud emasligini tekshirish.
Teskari operatorlar: Teskari operator ta'riflari. Operatorning teskarilanuvchanligi shartlari. Teskari operator mavjudligini ko'rsatish va uni topish. Operatorning chegaralanganligi.
Qo'shma operatorlar: Banax va Hilbert fazolarida qo'shma operatorlar. Qo'shma operatorlarning xossalari. O'z-o'ziga qo'shma operatorlar. O'z-o'ziga qo'shma chegaralangan operatorlar.
Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi: Operatorning spektri tushunchasi. Spektr qismlari. Xos qiymatlar va xos vektorlar. Spektr va rezolventa.
Kompakt operatorlar: Kompakt, nisbiy kompakt to'plamlar. Kompakt operatorlar va ularning xossalari. Hilbert-Shmidt teoremasi.