Funksional analiz faniga oid misollarniyechish

Ushbu kitob oliy o'quv yurtlari talabalari uchun mo'ljallangan bo'lib, funksional analizning asosiy tushunchalari va uslublariga oid misollarni yechishga bag'ishlangan. Kitobda to'plamlar nazariyasi, metrik fazolar, topologik fazolar, chiziqli fazolar, Lebeg integrali va boshqa muhim mavzular qamrab olingan. Har bir mavzu bo'yicha nazariy ma'lumotlar berilgan va misollar bilan mustahkamlangan. Kitob talabalarga funksional analiz asoslarini chuqur o'zlashtirishga va amaliy masalalarni yechish ko'nikmalarini rivojlantirishga yordam beradi.

Asosiy mavzular

To'plamlar ustida amallar va akslantirishlar: To'plamlarning asosiy tushunchalari, to'plamlar ustida amallar (birlashma, kesishma, ayirma), akslantirishlar va ularning xossalari ko'rib chiqiladi.
To'plamlarning ekvivalentligi. Kantor-Bernshteyn teoremasi: To'plamlarning ekvivalentligi tushunchasi, sanoqli va sanoqsiz to'plamlar, Kantor-Bernshteyn teoremasi va unga oid misollar o'rganiladi.
O'lchovli to'plamlar: Lebeg o'lchovi, tashqi o'lchov, o'lchovli to'plamlar va ularning xossalari, Karatodori teoremasi va o'lchovli funksiyalar haqida ma'lumot beriladi.
O'lchovli funksiyalar: O'lchovli funksiyalar ta'rifi, o'lchovli funksiyalarning xossalari, Yegorov teoremasi va o'lchov bo'yicha yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-ketligi ko'rib chiqiladi.
Lebeg integrali: Lebeg integrali ta'rifi, Lebeg integralining xossalari, Riman integrali bilan taqqoslash, Lebegning dominant yaqinlashuv teoremasi va Fatu lemmasi o'rganiladi.
O'zgarishi chegaralangan funksiyalar: O'zgarishi chegaralangan funksiyalar ta'rifi, o'zgarish, Iordanning o'zgarishi chegaralanganligi va absolyut uzluksizligini bog'lash.
Lebeg-Stiltes integrali: Lebeg-Stiltes o'lchovi, Lebeg-Stiltes integrali ta'rifi va xossalari, Riman-Stiltes integrali bilan taqqoslash ko'rib chiqiladi.
Topologik fazolar: Topologik fazoning asosiy tushunchalari (ochiq to'plamlar, yopiq to'plamlar, bazis, ichki nuqta, chegaraviy nuqta, limit nuqta), Xausdorf fazolari, kompaktlik va bog'langanlik tushunchalari o'rganiladi.
Chiziqli fazolar: Chiziqli fazoning asosiy tushunchalari (chiziqli fazo, qism fazo, chiziqli qobiq, chiziqli erkli va bog'liq sistemalar, bazis, o'lcham), Evklid fazolari va ularning xossalari ko'rib chiqiladi.
Metrik fazolar: Metrik fazoning asosiy tushunchalari (metrika, masofa, shar, ochiq to'plamlar, yopiq to'plamlar, yaqinlashuvchi ketma-ketlik, fundamental ketma-ketlik), to'la metrik fazolar, qisqartirib akslantirish prinsipi va uning tatbiqlari o'rganiladi.
To'la metrik fazolar: Ichma-ich joylashgan sharlar prinsipi, Ber teoremasi, Banax haqida teoremasi va boshqa mavzularni o'z ichiga oladi.
Qisqartirib akslantirish prinsipi: Funktsiyalarni yaqinlashish usullari, differentsiallash va integral tenglamalarni funksiyalar ketma-ketligi shaklida yechishning qulay usuli.